均值不等式

调和平均数 $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$

几何平均数$\sqrt{ab}$$\sqrt{ab}$

算术平均数$\frac{a+b}{2}$$\frac{a+b}{2}$

平方平均数$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

最常用公式(a,b>0)

1 积定和最小

当且仅当a=b时,等号成立

例如$a+\frac{1}{a}\ge 2\sqrt{a\cdot \frac{1}{a}}=2,\text{当}\text{且}\text{仅}\text{当}a=\frac{1}{a}\text{即}a=1\text{时}\text{等}\text{号}\text{成}\text{立}$$a+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}=2,当且仅当a=\frac{1}{a}即a=1时等号成立$

2 和定积最大

当且仅当a=b时,等号成立

例如$a(2-a)\le (\frac{a+2-a}{2}{)}^2=1,\text{当}\text{且}\text{仅}\text{当}a=2-a\text{即}a=1\text{时}\text{等}\text{号}\text{成}\text{立}$$a(2-a)\le(\frac{a+2-a}{2})^2=1,当且仅当a=2-a即a=1时等号成立$

权方和不等式(a,b,x,y>0)

当且仅当$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$时,等号成立

一般形式:

当且仅当$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\cdot \cdot \cdot =\frac{x_n}{y_n}$$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\cdot\cdot\cdot=\frac{x_n}{y_n}$时,等号成立

四联不等式(a,b>0)

调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数

当且仅当a=b时,所有等号成立

柯西不等式$(a,b,c,d\in R)$$(a,b,c,d\in R)$

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd{)}^2$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge(ac+bd)^2$